Problema de trigonometria — rumo de um barco sujeito a uma corrente — resolução de triângulos

Tradução de parte de uma questão de Threethumb, no MSE:

«Um barco precisa de rumar para um porto situado numa direcção de 065°. Em águas calmas o barco navega à velocidade de 35 km/h, mas uma corrente de 3 km/h na direcção de 320º faz mover a água. Que rumo deve tomar o barco para chegar ao porto? Poderá achar mais fácil resolver esta questão usando trigonometria em vez de componentes cartesianas [das velocidades].»

Tradução da minha resposta:

Parto do princípio que os ângulos são medidos na direcção dos ponteiros do relógio a partir de uma direcção de referência de 0^\circ que é o Norte.

Usando trigonometria o problema reduz-se a determinar um ângulo de um triângulo sabendo dois dos lados e outro ângulo.

A velocidade da água é representada pelo vector azul com uma norma de 3\, \mathrm{km/h}. Para resolver o problema necessitamos de determinar a direcção do vector preto, cuja norma é de 35\, \mathrm{km/h}. Isto quer dizer que precisamos de achar o ângulo \theta=A do triângulo \Delta=[A,B,C], sabendo os lados a=3 e b=35, e o ângulo B=105^\circ. Da lei dos senos

\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}

deduz-se que

\sin\theta=\sin A=\dfrac{a\sin B}{b}=\dfrac{3\sin 105^\circ}{35}.

Assim

\theta=\arcsin\left( \dfrac{3\sin 105^\circ}{35}\right)\approx 4.749^\circ .

Isto significa que o barco deve tomar a direcção

65^\circ+\theta\approx 69.75^\circ,

à velocidade de 35\, \mathrm{km/h}. De uma nova aplicação da lei dos senos ao lado c e ângulo C, obtém-se c=34,103\, \mathrm{km/h}, que é a velocidade resultante do barco na direcção do porto.

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Três quadrados e dois triângulos equiláteros — relação entre lados

Publicado inicialmente no meu blogue principal (aqui).

Na figura:

– os vértices do triângulo equilátero interior situam-se sobre as bissectrizes do exterior;

– cada um dos quadrados partilha um lado com o triângulo menor e dois dos seus vértices estão sobre os lados do triângulo maior.

Mostre que a relação entre os lados do triângulo maior e menor é igual a 2+\sqrt{3}.

3quadrados3triangulos

 

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Aplicação da fórmula de Herão: determinação do perímetro de um triângulo dadas as três alturas

Republico de seguida o post do meu blogue principal, com o mesmo título.

Neste meu antigo post apresentei uma dedução geométrica da fórmula de Herão da área S de um triângulo, que também pode ser obtida por métodos trigonométricos:

S=\sqrt{p\left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right)},

em que 2p=a+b+c é o perímetro e a,b e c são os lados.

Na questão recente Find the perimeter of any triangle given the three altitude lengths , no MSE, de Chris Johnson são dados os comprimentos das três alturas 12,15 e 20 de um triângulo e pede-se um método que permita determinar o seu perímetro. André Nicolas utilizou um que aplica a fórmula de Herão da área de um triângulo. Eis uma tradução de parte da minha resposta, que segue o mesmo método.

No caso geral de um triângulo com alturas h_{1},h_{2},h_{3} perpendiculates respectivamente aos lados a,b,c, a sua área é S=\dfrac{ah_{1}}{2}=\dfrac{bh_{2}}{2}=\dfrac{ch_{3}}{2}. Consequentemente a=\dfrac{2S}{h_{1}}, b=\dfrac{2S}{h_{2}}, c=\dfrac{2S}{h_{3}}, pelo que o perímetro 2p e o semi-perímetro p do triângulos são dados por

\begin{aligned}2p&=a+b+c=\dfrac{2S}{h},\\p&=\dfrac{S}{h},\end{aligned}

em que h é tal que

\dfrac{1}{h}=\dfrac{1}{h_{1}}+\dfrac{1}{h_{2}}+\dfrac{1}{h_{3}}\Leftrightarrow h=\dfrac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{2}h_{3}+h_{1}h_{3}+h_{1}h_{2}}.

Logo

S=\sqrt{\dfrac{S}{h}\left( \dfrac{S}{h}-\dfrac{2S}{h_{1}}\right) \left( \dfrac{S}{h}-\dfrac{2S}{h_{2}}\right) \left( \dfrac{S}{h}-\dfrac{2S}{h_{3}}\right) }=\dfrac{S^{2}}{h^{2}}\sqrt{\dfrac{\left( h_{1}-2h\right) \left(  h_{2}-2h\right) \left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}}.

Resolvendo em ordem a S, obtemos

S=\dfrac{h^{2}}{\sqrt{\dfrac{\left( h_{1}-2h\right) \left( h_{2}-2h\right)\left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}}}

e finalmente o perímetro em função de h,h_1,h_2 e h_3, sendo h uma função de h_1,h_2,h_3, como atrás indicado:

2p=\dfrac{2h}{\sqrt{\dfrac{\left( h_{1}-2h\right) \left( h_{2}-2h\right)\left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}}}.

Para o caso numérico h_1=12,h_2=15,h_3=20 obtém-se 2p=60.

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Desenho trigonométrico relativo a uma expressão no seno e na tangente de ângulos diferentes

(Inicialmente publicado nesta entrada do problemas | teoremas)

No artigo An Elementary Trigonometric Equation de Victor Moll [1] é estudada a equação

\tan a+B\sin b=C,

a partir da qual são demonstradas várias expressões trigonométricas. Duas, com C=\sqrt{11} [1, Theorem 3.1] já apareceram em duas questões no MSE, uma nesta e estoutra

\tan\left(\dfrac{\pi}{11}\right)+4\sin\left(\dfrac{3\pi}{11}\right)=\sqrt{11}

em “Is there an interpretation for this trigonometric identity?“.

O seguinte desenho, que apresentei como resposta, é uma contrução trigonométrica directa.

O raio do sector circular é 1. As medidas dos ângulos ao centro e o comprimento dos segmentos dos segmentos de recta são:

1. Ângulo menor: \pi/11 rad.
2. Ângulo maior: 3\pi/11 rad.
3. Segmento vermelho escuro: \sqrt{11}.
4. Segmento vertical preto: 4\sin(3\pi/11).
5. Segmento vertical vermelho claro: \tan(3\pi/11).

O segmento de recta vermelho escuro é a hipotenusa do triângulo rectângulo cujos catetos são os segmentos de recta de comprimento \sqrt{10} e do segmento unitário que lhe é perpendicular. O segmento de comprimento \sqrt{10} é a hipotenusa do triângulo rectângulo cujos catetos são os segmentos de recta horizontal de comprimento igual a 3 e o vertical de comprimento 1.

O ângulo \pi/11=2\pi/22 não pode construir-se com régua e compasso (Wikipedia, Constructible polygon ), pelo que a figura é uma construção impossível apenas com régua e compasso.

[2-5-2011, alterado título e completado último parágrafo]

[1] MOLL, Victor, An Elementary Trigonometric Equation (arXiv 24 Sep 2007)

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Altura de um triângulo em função dos lados

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(10,6)\put(4,5){\line(0,-1){4}}\put(4.1,2.7){\textit{h}}\thicklines\put(1,1){\line(3,4){3}}\put(4,5){\line(5,-4){5}}\put(1,1){\line(1,0){8}}\put(0.6,0.8){\textit{A}}\put(9.0,0.8){\textit{B}}\put(3.9,5.2){\textit{C}}\put(2.3,3.2){\textit{b}}\put(6.5,3.1){\textit{a}}\put(4.8,0.5){\textit{c}}\put(4.1,1.2){\textit{P}}\put(2.6,1.2){\textit{r}}\put(6.3,1.2){\textit{s}}\put(5.0,2.7){\textit{S}}\end{picture}

Seja \overline{CP}=h a altura do triângulo [A,B,C] traçada sobre o lado AB. O ponto P, projecção do vértice C sobre o lado AB, divide-o em dois segmentos \overline{AP}=r e \overline{PB}=s tais que \overline{AB}=c=r+s. O teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo [C,P,A] traduz-se em

b^{2}=r^{2}+h^{2}\qquad \left( 1\right)

e aplicado ao triângulo [C,P,B] em

h^{2}=a^{2}-s^{2}\qquad \left( 2\right)

Ora r=c-s pelo que

r^{2}=c^{2}-2cs+s^{2}\qquad \left( 3\right)

Substituindo \left( 2\right) e \left( 3\right) em \left( 1\right) vem:

b^{2}=c^{2}+a^{2}-2cs\qquad \left( 4\right)

donde

s=\dfrac{1}{2c}\left( c^{2}+a^{2}-b^{2}\right) \qquad \left( 5\right)

Eliminando s em \left( 2\right), tem-se sucessivamente

h^{2}=a^{2}-\left[ \dfrac{1}{2c}\left( c^{2}+a^{2}-b^{2}\right) \right] ^{2}

=\dfrac{\left( 2ac+c^{2}+a^{2}-b^{2}\right) \left( 2ac-c^{2}-a^{2}+b^{2}\right) }{4c^{2}}

=\dfrac{\left( a+b+c\right) \left( a+c-b\right) \left( b+a-c\right) \left( b-a+c\right) }{4c^{2}}

Chamando ao semi-perímetro do triângulo p, vem

a+b+c=2p\qquad \left( 6\right)

a+c-b=2\left( p-b\right)

b+a-c=2\left( p-c\right)

b-a+c=2\left( p-a\right)

e

h^{2}=\dfrac{2p\cdot 2\left( p-b\right) \cdot 2\left( p-c\right) \cdot 2\left( p-a\right) }{4c^{2}}

=\dfrac{4p\left( p-b\right) \left( p-c\right) \left( p-a\right) }{c^{2}}

A altura é então igual a:

h=\dfrac{2}{c}\sqrt{p\left( p-a\right)\left( p-b\right)\left( p-c\right) }\qquad\left( 7\right)

e a área S do triângulo [A,B,C] é dada pela fórmula — chamada de Herão:

S=\sqrt{p\left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) }\qquad\left( 8\right)

 

Exercício de aplicação numérica (adaptado do blogue Matemática do Pi, Exercício 2 de Relações métricas e trigonométricas ): Sabendo que \measuredangle ACB=\dfrac{\pi }{2}, b=3 e c=5, calcule a, r, s e h.

Temos:

– o lado a (pelo teorema de Pitágoras):

a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4

– a altura em função do semi-perímetro p

p=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{4+3+5}{2}=6;

pela fórmula (7):

h=\dfrac{2}{c}\sqrt{p\left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) }=

=\dfrac{2}{5}\sqrt{6\left( 6-4\right) \left( 6-3\right) \left( 6-5\right) }=\dfrac{12}{5}

– o segmento r (pelo teorema de Pitágoras):

r=\sqrt{b^{2}-h^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left( \dfrac{12}{5}\right) ^{2}}=\dfrac{9}{5}

– o segmento s:

s=c-p=5-\dfrac{9}{5}=\dfrac{16}{5}

Exercício acrescentado em 26.05.10.

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